Bese az MTK akadémiáján nevelkedett, majd 2016-ban, az Európa-bajnokság után a Le Havre csapata vásárolta meg. A francia másodosztályban négy éven át állandó játéklehetőséget kapott, összesen 114 bajnokin lépett pályára a Ligue 2-ben.

Ezt követően a belga élvonalbeli OH Leuven következett, majd 2022 februárjában hazatért a hátvéd, a Fehérvárhoz szerződött. A két és fél éves fehérvári időszak alatt alapembere volt a piros-kékeknek, a 2023/24-es idényben 30 bajnokin bizonyíthatott.

Bese 23-szor szerepelhetett a nemzeti csapatban, megjárta a 2016-os Eb-t, de több világbajnoki selejtezőn és Nemzetek Ligája-összecsapáson is szerephez jutott.

A 188 cm magas, 30 éves szélsővédő stabilitására, nemzetközi tapasztalatára és a rutinjára számít az Újpest FC, amit átadhat a fiataloknak is, hogy a megfelelő irányba terelje őket. Remekül használható 5 és 4 védős rendszerben, magasságával pedig hozzájárul az elmúlt idényben komolyt gondot okozó pontrúgások elleni védekezéshez is.

Bese Barnabás az alábbi szavakat fűzte hozzá a leigazolásához.

„Egyből éreztem a vezetők bizalmát, és remélem, hogy ezt a pályán mielőbb meg tudom hálálni. Hiszek abban a projektben, amit felvázoltak Újpesten, szeretnék minél jobb teljesítményt nyújtani, hiszen megtiszteltetés ennek a klubnak a mezében futballozni.”