Börzsei János a második világháború alatt az Elektromos labdarúgója volt, ott még csatárként is szerepelt. 1946-ban került az MTK-hoz, ahol pályafutása legszebb időszakát töltötte.

1957-ig állandó tagja volt a kék-fehérek egyik legjobb csapatának, majd amikor feltűnt a méltó utód, Sipos Ferenc, átengedte neki a helyét.

A válogatottban 1948 és 1956 között vették számításba, azonban „csak” 23 alkalommal játszhatott. Sebes Gusztáv szövetségi kapitány ugyanis inkább Lóránt Gyula szereplését helyezte előtérbe.

Börzsei János pályafutása befejezése után a Magyar Labdarúgó-szövetségnél dolgozott főtitkári minőségben.

Az MTK hivatalos honlapjának híre szerint Börzsei János temetése szeptember 18-án 15 órakor lesz az Apor Vilmos téri Felső-Krisztinavárosi Plébániatemplom Urnatemetőjében. A család kérése, hogy a megemlékezők egy szál virággal róják le kegyeletüket az egykori barát, csapattárs előtt.